La Matematica costituisce, indubbiamente, una delle principali conquiste del pensiero umano. Però, se i suoi strumenti non vengono maneggiati con criterio, si può correre il rischio di ottenere dei risultati del tutto inattendibili. I seguenti esempi mettono in luce come, effettuando dei passaggi algebrici apparentemente ineccepibili (ma solo apparentemente…), si possa arrivare a delle conclusioni completamente strampalate.
1. Ogni numero è uguale al proprio doppio
– Scegliamo un numero reale qualsiasi A, diverso da zero, e poniamo la relazione: A = B;
– moltiplichiamo per A entrambi i membri dell’uguaglianza: A2 = AB;
– sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2–B2 = AB–B2;
– scomponiamo in fattori il primo membro: (A–B)(A+B) = AB–B2;
– mettiamo in evidenza B nel secondo membro: (A–B)(A+B) = B(A–B);
– dividiamo per (A–B) entrambi i membri: A+B = B;
– sostituiamo A a B (dato che hanno lo stesso valore): A+A = A;
– in definitiva, otteniamo: 2A = A.
2. Ogni numero è uguale a un qualsiasi altro numero.
– Scegliamo due numeri reali qual-siasi, A e B (con A ≠ B), tali che: A = B+C;
– moltiplichiamo per (A–B ) entrambi i membri: A(A–B) = (B+C)(A–B);
– da cui: A2–AB = AB+AC–B2–BC;
– spostiamo AC al primo membro: A2–AB–AC = AB–B2–BC;
– mettiamo in evidenza A al primo membro: A(A–B–C) = AB–B2–BC;
– mettiamo in evidenza B al secondo membro: A(A–B–C) = B(A–B–C);
– dividiamo entrambi i membri per (A–B–C): A = B.
3. Ogni numero diverso da zero, è uguale a zero
– Scegliamo un numero reale qualsiasi A ≠ 0 e poniamo: A = B–C (con B ≠ C);
– moltiplichiamo per (B–C) entrambi i membri: A(B–C) = (B–C)(B–C);
– da cui, ricaviamo: AB–AC = B2–BC–BC+C2;
– spostiamo –AC dal primo al secondo membro: AB = B2–BC–BC+C2+AC;
– spostiamo B2–BC dal secondo al primo membro: AB–B2+BC = AC–BC+C2;
– mettiamo in evidenza B al primo membro: B(A–B+C) = AC–BC+C2;
– mettiamo in evidenza C al secondo membro: B(A–B+C) = C(A–B+C);
– dividiamo entrambi i membri per (A–B+C): B = C;
– da cui, ricaviamo: B–C = 0 e, quindi: A = 0.