Nella matematica ricreativa, risultano particolarmente degni di nota i numeri naturali, composti solo da cifre tutte uguali a: «1», che vengono definiti: pluriunitari (o repunit in inglese). I primi rappresentanti di questa categoria, ovviamente, sono: 11, 111, 1111, 11111, e così via.
Un generico numero pluriunitario composto da K cifre (indicato abitualmente con la notazione: Rk), può essere originato dalla formula: Rk = (10K–1)/9.
Qui di seguito, però, è riportato un curioso metodo per ricavare i primi nove numeri pluriunitari.
1×9+2 = 11
12×9+3 = 111
123×9+4 = 1111
1234×9+5 = 11111
12345×9+6 = 111111
123456×9+7 = 1111111
1234567×9+8 = 11111111
12345678×9+9 = 111111111
123456789×9+10 = 1111111111
È interessante notare che esistono dei numeri pluriunitari primi. Ad esempio, sono primi: R2 = 11, R19 = 1111111111111111111, R23 = 11111111111111111111111.
Altri numeri pluriunitari primi accertati sono R317 = (10317–1)/9 e R1031 = (101031–1)/9.
Nonostante non se ne conoscano molti, si pensa che i numeri pluriunitari primi siano infiniti; ma questa è soltanto una congettura, tutta da dimostrare. È, invece, sicuro che non esistono dei quadrati perfetti pluriunitari. Un tale assunto può essere dimostrato, tenendo presente che un quadrato perfetto è sempre uguale a un multiplo di 4 (se pari), o a un multiplo di 4 più 1 (se dispari). Infatti, siccome ogni numero pari può essere espresso come: 2N e ogni numero dispari come: 2N+1 (con N = 0, 1, 2…), elevando 2N al quadrato, si ottiene: (2N)2 = 4N2 (un multiplo di 4); mentre, elevando 2N+1 al quadrato, si ottiene: (2N+1)2 = 4N2+2x2N+1 = 4N2+4N+1 = 4(N2+N)+1 (un multiplo di 4 più 1).
Considerando che un numero formato da una successione continua di cifre «1»: 1…111, è ovviamente dispari, se un simile numero fosse un quadrato perfetto, dovrebbe essere uguale a un multiplo di 4 più 1. Quindi, sottraendo 1 dal suo valore, il numero risultante (1[…]110) dovrebbe corrispondere a un multiplo di 4. Ma questo non è possibile, perché un numero K è divisibile per 4, solo se le sue ultime due cifre corrispondono a un multiplo di 4 (minore di K); invece, le ultime due cifre del numero ottenuto formano il numero 10 (che non è multiplo di 4).
È interessante notare che una delle relazioni prima analizzate consente di effettuare il seguente gioco di magia matematica (che, per praticità, è bene eseguire ricorrendo a una calcolatrice elettronica).
1. Scegliete un numero naturale N, composto da una stessa cifra «a» ripetuta dieci volte: «aaaaaaaaaa» (ad esempio: a = 5 → 5555555555).
2. Sostituite con uno «0» la penultima cifra da sinistra del numero N (5555555555 → 5555555505).
3. Calcolate: 9xa (5×9 = 45).
4. Dividete per il prodotto così ottenuto, il numero ricavato al passo 2. (5555555505/45).
5. Indipendentemente dal numero scelto all’inizio, il risultato finale sarà comunque: 123456789 (5555555505/45 = 123456789).
Cercate di spiegare perché questo gioco funziona sempre.